IT "Понятно"
Обучение для начинающих
c 8 лет и до бесконечности
c 8 лет и до бесконечности
Опубликовано: 01.04.2024
Работа с компьютерными алгоритмами основывается на логических операциях, которые являются фундаментальными базовыми понятиями информатики и математической логики. Поговорим про: таблицы истинности, конъюнкцию, дизъюнкцию, инверсию, импликацию и эквивалентность.Логические операции являются основой для понимания и построения сложных логических структур в информатике. Они не только помогают в анализе логических утверждений, но и являются ключевыми элементами в программировании и проектировании цифровых систем. Понимание этих основополагающих принципов открывает двери к более глубокому изучению информатики и смежных дисциплин.
Таблица истинности — таблица, описывающая логическую функцию. Под «логической функцией» в данном случае понимается функция, у которой значения переменных (параметров функции) и значение самой функции выражают логическую истинность. Например, в двузначной логике они могут принимать значения «истина» либо «ложь» (True или 1 и False или 2). Таблицы истинности — это математические таблицы, используемые для определения функционирования логических операций в булевой алгебре, которая является основой для логических схем и программирования.
Далее рассмотрим подробнее основные логические операции: конъюнкцию, дизъюнкцию, инверсию, импликацию и эквивалентность.
Обозначение: логический оператор И (AND), обычно обозначается символом ∧.
Определение: конъюнкция двух утверждений истинна, если оба утверждения истинны.
Допустим: A = истина (true), B = ложь (false). Тогда A ∧ B = false.
Пример:
Давайте рассмотрим пример высказывания на естественном языке, использующего конъюнкцию (логическое умножение) с переменными A и B, где A = истина (true), а B = ложь (false).
A (Истина): "На улице идет дождь."
B (Ложь): "Сегодня воскресенье."
Теперь, используя конъюнкцию (A ∧ B), мы соединяем эти два утверждения:
A ∧ B: "На улице идет дождь и сегодня воскресенье."
Поскольку A истинно (действительно идет дождь), но B ложно (сегодня не воскресенье), то вся конъюнкция A ∧ B является ложной. Это демонстрирует основное правило конъюнкции: она истинна только тогда, когда оба утверждения истинны. В нашем случае, поскольку одно из утверждений ложно, вся конъюнкция также становится ложной.
Таблица истинности для конъюнкции. True (T) - Истина, False (F) – Ложь:
|
А |
B |
A ∧ B |
|
T |
T |
T |
|
T |
F |
F |
|
F |
T |
F |
|
F |
F |
F |
Обозначение: ИЛИ (OR), обычно обозначается символом ∨.
Определение: дизъюнкция двух утверждений истинна, если хотя бы одно из утверждений истинно.
Допустим: A = true и B = false, то A ∨ B = true.
Пример:
Давайте рассмотрим пример высказывания на естественном языке, использующего дизъюнкцию (логическое сложение) с переменными A и B, где A = истина (true), а B = ложь (false).
A (Истина): "В комнате включен свет."
B (Ложь): "На улице идет снег."
Теперь, используя дизъюнкцию (A ∨ B), мы соединяем эти два утверждения:
A ∨ B: "В комнате включен свет или на улице идет снег."
Поскольку A истинно (в комнате действительно включен свет), даже несмотря на то, что B ложно (на улице не идет снег), вся дизъюнкция A ∨ B является истинной. Это демонстрирует основное правило дизъюнкции: она истинна, если хотя бы одно из утверждений истинно. В нашем случае, поскольку одно из утверждений истинно, вся дизъюнкция также становится истинной.
Таблица истинности для дизъюнкции. True (T) - Истина, False (F) – Ложь:
|
А |
B |
A ∨ B |
|
T |
T |
T |
|
T |
F |
T |
|
F |
T |
T |
|
F |
F |
F |
Обозначение: НЕ (NOT), обычно обозначается символом ¬ или !.
Определение: инверсия утверждения истинна, если утверждение ложно, и наоборот.
Допустим: если A = true, то ¬A = false.
Пример:
Давайте рассмотрим пример высказывания на естественном языке, использующего инверсию (логическое отрицание) с переменной A, где A = истина (true).
A (Истина): "Сегодня идет дождь."
Теперь, используя инверсию, мы отрицаем это утверждение:
¬A: "Сегодня не идет дождь."
Поскольку исходное утверждение A истинно (действительно идет дождь), его инверсия ¬A будет ложной. Это демонстрирует основное правило инверсии: если утверждение истинно, то его отрицание ложно, и наоборот. В данном случае, поскольку A истинно, ¬A (отрицание A) становится ложным.
Таблица истинности для инверсии. True (T) - Истина, False (F) – Ложь:
|
A |
¬A |
|
T |
F |
|
F |
T |
Обозначение: ИМПЛИКАЦИЯ (IMPLIES), обычно обозначается символом →.
Определение: импликация A → B истинна, если из истинности A следует истинность B. Единственный случай, когда она ложна — если A истинно, а B ложно.
Допустим: если A = true и B = false, то A → B = false.
Пример:
Давайте рассмотрим пример высказывания на естественном языке, использующего импликацию (логическое следование) с переменными A и B, где A = истина (true), а B = ложь (false).
A (Истина): "Я выпил чашку кофе утром."
B (Ложь): "Я не чувствую себя бодрым."
Теперь, используя импликацию (A → B), мы формулируем следующее утверждение:
A → B: "Если я выпил чашку кофе утром, то я чувствую себя бодрым."
В данном случае, A истинно (вы действительно выпили чашку кофе утром), но B ложно (вы не чувствуете себя бодрым, несмотря на выпитый кофе). Согласно правилам импликации, если предпосылка (A) истинна, а заключение (B) ложно, то вся импликация (A → B) является ложной. Это демонстрирует, что импликация истинна во всех случаях, кроме того, когда истинная предпосылка ведет к ложному заключению.
Таблица истинности для импликации. True (T) - Истина, False (F) – Ложь:
|
A |
B |
A → B |
|
T |
T |
T |
|
T |
F |
F |
|
F |
T |
T |
|
F |
F |
T |
Обозначение: ЭКВИВАЛЕНЦИЯ, обычно обозначается символом ↔.
Определение: эквиваленция истинна, если оба утверждения A и B либо истинны, либо ложны одновременно
Пример:
Рассмотрим пример высказывания на естественном языке, использующего эквиваленцию (логическое равенство) с переменными A и B.
A (Истина): "Я закончил свою работу."
B (Истина): "Я свободен на вечер."
Теперь, используя эквиваленцию (A ↔ B), мы соединяем эти два утверждения:
A ↔ B: "Я закончил свою работу тогда и только тогда, когда я свободен на вечер."
В нашем случае, если A истинно (работа действительно закончена) и B также истинно (вы действительно свободны на вечер), то эквиваленция A ↔ B является истинной. Это демонстрирует основное правило эквиваленции: она истинна, когда оба утверждения имеют одинаковую истинностную величину.
Таким образом, эквиваленция подчеркивает строгую связь между двумя утверждениями, где истинность одного гарантирует истинность другого, и наоборот.
Таблица истинности для эквиваленции. True (T) - Истина, False (F) – Ложь:
|
A |
B |
A ↔ B |
|
T |
T |
T |
|
T |
F |
F |
|
F |
T |
F |
|
F |
F |
T |
В сложных логических выражениях операции выполняются в следующем порядке приоритета:
Пример сложного логического высказывания:
Рассмотрим выражение ¬A ∧ (B ∨ C) → D. Порядок выполнения операций будет следующим:
На естественном языке:
Давайте создадим пример выражения на естественном языке, используя логическую формулу ¬A ∧ (B ∨ C) → D. Для этого мы сначала определим каждую переменную как конкретное утверждение:
Теперь применим логические операции к этим утверждениям:
Это выражение означает, что для того, чтобы я пошел на прогулку, должны выполняться два условия: я не должен быть уставшим, и должно быть либо солнечно, либо я должен взять зонт. Если эти условия соблюдаются, то я пойду на прогулку.
Рубрики по темам:
Давайте вместе разберемся, что такое переменная в информатике и программировании?
Применение знаков (операторов) в информатике
В информатике существует множество знаков, которые имеют различные значения и функции. Иногда применение знаков в информатике вводит в заблуждение начинающих программистов, потому что результат часто отличается от того, к чему мы привыкли на уроках математики.
Как работает модуль fnmatch с масками в python
Модуль fnmatch в Python позволяет сравнивать имена файлов и строки с шаблонами, используя символы подстановки, такие как звёздочка (*) и вопросительный знак (?). Это полезно для поиска файлов, соответствующих определённому шаблону, или для фильтрации строк по определённым критериям.