Таблицы истинности

Опубликовано: 01.04.2024

Работа с компьютерными алгоритмами основывается на логических операциях, которые являются фундаментальными базовыми понятиями информатики и математической логики. Поговорим про: таблицы истинности, конъюнкцию, дизъюнкцию, инверсию, импликацию и эквивалентность.

Логические операции являются основой для понимания и построения сложных логических структур в информатике. Они не только помогают в анализе логических утверждений, но и являются ключевыми элементами в программировании и проектировании цифровых систем. Понимание этих основополагающих принципов открывает двери к более глубокому изучению информатики и смежных дисциплин.

Таблица истинности — таблица, описывающая логическую функцию. Под «логической функцией» в данном случае понимается функция, у которой значения переменных (параметров функции) и значение самой функции выражают логическую истинность. Например, в двузначной логике они могут принимать значения «истина» либо «ложь» (True или 1 и False или 2). Таблицы истинности — это математические таблицы, используемые для определения функционирования логических операций в булевой алгебре, которая является основой для логических схем и программирования.

• T обозначает Истину (True или 1)
• F обозначает Ложь (False или 0)

Далее рассмотрим подробнее основные логические операции: конъюнкцию, дизъюнкцию, инверсию, импликацию и эквивалентность.

Конъюнкция (логическое умножение/логическое "И")

Обозначение: логический оператор И (AND), обычно обозначается символом ∧.

Определение: конъюнкция двух утверждений истинна, если оба утверждения истинны.

Допустим: A = истина (true), B = ложь (false). Тогда A ∧ B = false.

Пример:
Давайте рассмотрим пример высказывания на естественном языке, использующего конъюнкцию (логическое умножение) с переменными A и B, где A = истина (true), а B = ложь (false).

A (Истина): "На улице идет дождь."

B (Ложь): "Сегодня воскресенье."

Теперь, используя конъюнкцию (A ∧ B), мы соединяем эти два утверждения:

A ∧ B: "На улице идет дождь и сегодня воскресенье."

Поскольку A истинно (действительно идет дождь), но B ложно (сегодня не воскресенье), то вся конъюнкция A ∧ B является ложной. Это демонстрирует основное правило конъюнкции: она истинна только тогда, когда оба утверждения истинны. В нашем случае, поскольку одно из утверждений ложно, вся конъюнкция также становится ложной.

Таблица истинности для конъюнкции. True (T) - Истина, False (F) – Ложь:

Дизъюнкция (логическое сложение/логическое "или")

Обозначение: ИЛИ (OR), обычно обозначается символом ∨.

Определение: дизъюнкция двух утверждений истинна, если хотя бы одно из утверждений истинно.

Допустим: A = true и B = false, то A ∨ B = true.

Пример:
Давайте рассмотрим пример высказывания на естественном языке, использующего дизъюнкцию (логическое сложение) с переменными A и B, где A = истина (true), а B = ложь (false).

A (Истина): "В комнате включен свет."

B (Ложь): "На улице идет снег."

Теперь, используя дизъюнкцию (A ∨ B), мы соединяем эти два утверждения:

A ∨ B: "В комнате включен свет или на улице идет снег."

Поскольку A истинно (в комнате действительно включен свет), даже несмотря на то, что B ложно (на улице не идет снег), вся дизъюнкция A ∨ B является истинной. Это демонстрирует основное правило дизъюнкции: она истинна, если хотя бы одно из утверждений истинно. В нашем случае, поскольку одно из утверждений истинно, вся дизъюнкция также становится истинной.

Таблица истинности для дизъюнкции. True (T) - Истина, False (F) – Ложь:

Инверсия (логическое отрицание/логическое "не")

Обозначение: НЕ (NOT), обычно обозначается символом ¬ или !.

Определение: инверсия утверждения истинна, если утверждение ложно, и наоборот.

Допустим: если A = true, то ¬A = false.

Пример:
Давайте рассмотрим пример высказывания на естественном языке, использующего инверсию (логическое отрицание) с переменной A, где A = истина (true).

A (Истина): "Сегодня идет дождь."

Теперь, используя инверсию, мы отрицаем это утверждение:

¬A: "Сегодня не идет дождь."

Поскольку исходное утверждение A истинно (действительно идет дождь), его инверсия ¬A будет ложной. Это демонстрирует основное правило инверсии: если утверждение истинно, то его отрицание ложно, и наоборот. В данном случае, поскольку A истинно, ¬A (отрицание A) становится ложным.

Таблица истинности для инверсии. True (T) - Истина, False (F) – Ложь:

Импликация (логическое следование)

Обозначение: ИМПЛИКАЦИЯ (IMPLIES), обычно обозначается символом →.

Определение: импликация A → B истинна, если из истинности A следует истинность B. Единственный случай, когда она ложна — если A истинно, а B ложно.

Допустим: если A = true и B = false, то A → B = false.

Пример:
Давайте рассмотрим пример высказывания на естественном языке, использующего импликацию (логическое следование) с переменными A и B, где A = истина (true), а B = ложь (false).

A (Истина): "Я выпил чашку кофе утром."

B (Ложь): "Я не чувствую себя бодрым."

Теперь, используя импликацию (A → B), мы формулируем следующее утверждение:

A → B: "Если я выпил чашку кофе утром, то я чувствую себя бодрым."

В данном случае, A истинно (вы действительно выпили чашку кофе утром), но B ложно (вы не чувствуете себя бодрым, несмотря на выпитый кофе). Согласно правилам импликации, если предпосылка (A) истинна, а заключение (B) ложно, то вся импликация (A → B) является ложной. Это демонстрирует, что импликация истинна во всех случаях, кроме того, когда истинная предпосылка ведет к ложному заключению.

Таблица истинности для импликации. True (T) - Истина, False (F) – Ложь:

Эквиваленция (логическое равенство)

Обозначение: ЭКВИВАЛЕНЦИЯ, обычно обозначается символом ↔.

Определение: эквиваленция истинна, если оба утверждения A и B либо истинны, либо ложны одновременно

Пример:
Рассмотрим пример высказывания на естественном языке, использующего эквиваленцию (логическое равенство) с переменными A и B.

A (Истина): "Я закончил свою работу."

B (Истина): "Я свободен на вечер."

Теперь, используя эквиваленцию (A ↔ B), мы соединяем эти два утверждения:

A ↔ B: "Я закончил свою работу тогда и только тогда, когда я свободен на вечер."

В нашем случае, если A истинно (работа действительно закончена) и B также истинно (вы действительно свободны на вечер), то эквиваленция A ↔ B является истинной. Это демонстрирует основное правило эквиваленции: она истинна, когда оба утверждения имеют одинаковую истинностную величину.

Таким образом, эквиваленция подчеркивает строгую связь между двумя утверждениями, где истинность одного гарантирует истинность другого, и наоборот.

Таблица истинности для эквиваленции. True (T) - Истина, False (F) – Ложь:

Приоритет операций в логических выражениях

В сложных логических выражениях операции выполняются в следующем порядке приоритета:

1. Инверсия (¬)
2. Конъюнкция (∧)
3. Дизъюнкция (∨)
4. Импликация (→)

Пример сложного логического высказывания:

Рассмотрим выражение ¬A ∧ (B ∨ C) → D. Порядок выполнения операций будет следующим:

1. Вычисление ¬A
2. Вычисление B ∨ C
3. Вычисление конъюнкции ¬A ∧ (B ∨ C)
4. Вычисление импликации этого результата с D.

На естественном языке:

Давайте создадим пример выражения на естественном языке, используя логическую формулу ¬A ∧ (B ∨ C) → D. Для этого мы сначала определим каждую переменную как конкретное утверждение:

1. A: "Я устал."
2. B: "На улице солнечно."
3. C: "Я взял зонт."
4. D: "Я пойду на прогулку."

Теперь применим логические операции к этим утверждениям:

1. ¬A (отрицание A): "Я не устал."
2. B ∨ C (дизъюнкция B и C): "На улице солнечно или я взял зонт."
3. ¬A ∧ (B ∨ C) (конъюнкция ¬A и (B ∨ C)): "Я не устал, и на улице солнечно или я взял зонт."
4. ¬A ∧ (B ∨ C) → D (импликация вышеуказанной конъюнкции с D): "Если я не устал, и на улице солнечно или я взял зонт, то я пойду на прогулку."

Это выражение означает, что для того, чтобы я пошел на прогулку, должны выполняться два условия: я не должен быть уставшим, и должно быть либо солнечно, либо я должен взять зонт. Если эти условия соблюдаются, то я пойду на прогулку.

Рубрики по темам:

• Родительские собрания
• Статьи об IT
• Справочник IT
• Python вопрос/ответ
• Статьи о Дизайне